Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTSTĐể tìm nguyên hàm của hàm số ta có thể dùng phương pháp đổi biến số. Phương pháp này chúng ta có hai hướng đổi biến số:+ Hướng 1: • Bước 1: Chọn t = φ(x) . Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp .• Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt .• Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt .• Bước 4: Khi đó: *Hướng 2: • Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .• Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt • Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt • Bước 4: Khi đó tính: .

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = ( 3x + 2)3 là:Lời giải:Đáp án: CTa có:Đặt t = 3x + 2; khi đó ta có; Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f(x)= (1 − 2x)5 là:Lời giải:Đáp án: AĐặt t = 1 − 2x, khi đó ta có: Ví dụ 3. Tính nguyên hàm Lời giải:Đáp án: BĐặt t = x2 + 2x + 5 , khi đó ta có: Ví dụ 4. Tính Lời giải:Đáp án: ATa có:Đặt t = x3 + 3x + 10, khi đó (*) trở thành:Ví dụ 5. Tính Lời giải:Đáp án: CTa có:Đặt , khi đó (*) trở thành:

Dạng 2.2. Hàm phân thức

2. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tính Lời giải:Đáp án: ATa có:Đặt t = x2 + 1, khi đó (*) trở thành:Ví dụ 2. Cho . Khi đó S = a + b + c bằng Lời giải:Đáp án: BVí dụ 3. Nguyên hàm của có dạng F(x) = − ln|x2 + bx + 1| + ln(x2 + c) + C. Khi đó P = (a + b + 2c)b4 bằng Lời giải:Đáp án: DTa có:VậyVí dụ 4. Tìm hàm số f(x) = x2 + ax + ln|bx + 1| + c biết và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)3. c bằng Lời giải:Đáp án: ATa có:VìMàSuy ra, a= 1, b= 2, c= 1 nên S = (2a − b)3 . c = 0 Ví dụ 5. . Khi đó bằng A. 2 B. −2 C. 4 D. 3Lời giải:Đáp án: C

Dạng 2.3. Hàm chứa căn thức

1. Phương pháp giảiDấu hiệuCách chọn√(a2 − x2)Đặt x = |a|. sint; với hoặc x= |a|. cost; với t ∈ [0; π] √(x2 − a2)Đặt ; với hoặc ; với √(a2 + a2)Đặt x= |a|. tant; với hoặc x = |a|.cot t; với t ∈ (0; π) hoặc Đặt x= acos2t Đặt x = a + (b − a)sin2t2. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Kết quả của là: Lời giải:Đáp án: DĐặtVí dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = x√(1 + x2) là:Lời giải:Đáp án: DĐặtVậyVí dụ 3. Nguyên hàm của hàm số: là:Lời giải:Đáp án: CĐặt t = 1 − 4x, khi đó(*) trở thành : Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số: là:Lời giải:Đáp án: BĐặt √(2 − x2) = t => x2 = 2 − t2 => xdx = −tdt Ví dụ 5. Cho . Tính S = logb2a + logab + 2016? A. 2018 B. 2020 C. 2025 D. 2030Lời giải:Đáp án: AĐặt √(x2 + 3) => t2 = x2 + 3 => 2tdt = 2xdx => xdx = tdtSuy ra:Do đó, b = 3, a = 3Vậy S = logb2a + logab + 2016 = 2018

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tìm Lời giải:Đáp án: CTa có :Đặt t = sinx + 1, từ (*) suy ra: Ví dụ 2. Tìm Lời giải:Đáp án: CĐặt t= sin x, khi đó (*) trở thành:Ví dụ 3. Tìm Lời giải:Đáp án: CVì lũy thừa của sin là số lẻ nên ta đổi biến u = cosx => du = (cosx)'dx.Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm: Lời giải:Đáp án: DTa có: Đặt u= tanx => . Khi đó, từ (*) ta suy ra:Ví dụ 5. Tìm Lời giải:Đáp án: DTa có: Đặt , với

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của Lời giải:Đáp án: BĐặt t= 2x+ 2016, khi đó (*) trở thành: Ví dụ 2. Tìm Lời giải:Đáp án: BĐặt t= 3x − 3, khi đó (*) trở thành: Ví dụ 3. Một nguyên hàm của hàm số Lời giải:Đáp án: CĐ...