Bài tập trả lời ngắn phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = left( {1,;3,;2} right)$. Biết điểm $M(5;b;c)$ thuộc $d$. Tính $b + c$.
Lời giải
Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $Oleft( {0,;,0,;,0} right)$ và nhận vectơ $overrightarrow u = left( {1,;3,;2} right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $d:left{ begin{gathered} x = t hfill y = 3t hfill z = 2t hfill end{gathered} right.$.
Lại có $M(5;b;c)$ thuộc $d$ nên $left{ begin{gathered} 5 = t hfill b = 3t hfill c = 2t hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} t = 5 hfill b = 15 hfill c = 10 hfill end{gathered} right.$
Suy ra $M(5;15;10)$.
Vậy $b + c = 15 + 10 = 25$.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $Aleft( {1,;,0,;,1} right)$, $Bleft( {1,;,1,;,0} right)$ và $Cleft( {3,;,4,;, - 1} right)$. Gọi $d$ là đường thẳng đi đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$. Biết điểm $M(a;b;2)$ thuộc $d$. Tính $a + b$.
Lời giải
Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$ nhận $overrightarrow {BC} = left( {2,;,3,;, - 1} right)$ làm một véc tơ chỉ phương.
Suy ra phương trình của đường thẳng $d$: $frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{3} = frac{{z - 1}}{{ - 1}}$.
Mà điểm $M(a;b;2)$ thuộc $d$ nên $frac{{a - 1}}{2} = frac{b}{3} = frac{{2 - 1}}{{ - 1}}$
$ Leftrightarrow frac{{a - 1}}{2} = frac{b}{3} = - 1$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{a - 1}}{2} = - 1 hfill frac{b}{3} = - 1 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = - 1 hfill b = - 3 hfill end{gathered} right.$
Vậy $a + b = - 4$.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $Aleft( {1; - 2; - 3} right)$; $Bleft( { - 1;4;1} right)$ và đường thẳng $d:frac{{x + 2}}{1} = frac{{y - 2}}{{ - 1}} = frac{{z + 3}}{2}$. Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn $AB$ và song song với $d$. Biết điểm $M(a; - 2;c)$ thuộc $Delta $. Tính $a + c$.
Lời giải
+ Trung điểm của $AB$ là $Ileft( {0;1; - 1} right)$
+ $d:frac{{x + 2}}{1} = frac{{y - 2}}{{ - 1}} = frac{{z + 3}}{2}$ có VTCP là $overrightarrow u left( {1; - 1;2} right)$
Do $Delta //d$ nên đường thẳng $Delta $ cần tìm cũng có VTCP $overrightarrow u left( {1; - 1;2} right)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $Delta :,frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{{ - 1}} = frac{{x + 1}}{2}.$
mà điểm $M(a; - 2;c)$ thuộc $Delta $ nên ta có $frac{a}{1} = frac{{ - 2 - 1}}{{ - 1}} = frac{{c + 1}}{2}$
$ Leftrightarrow frac{a}{1} = 3 = frac{{c + 1}}{2}$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{a}{1} = 3 hfill frac{{c + 1}}{2} = 3 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 3 hfill c = 5 hfill end{gathered} right.$
Vậy $a + c = 3 + 5 = 8$.
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {1; - 2;3} right)$ và hai mặt phẳng $left( P right):x + y + z + 1 = 0$, $left( Q right):x - y + z - 2 = 0$. Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua $A$, song song với $left( P right)$ và $left( Q right)$. Biết điểm $M(a;b;7)$ thuộc $Delta $. Tính $a + b$.
Lời giải
Ta có:
+$Delta $ đi qua $Aleft( {1; - 2;3} right)$
+ $left{ begin{gathered} {{vec n}_{left( P right)}} = left( {1;1;1} right) hfill {{vec n}_{left( Q right)}} = left( {1; - 1;1} right) hfill end{gathered} right.$ $ Rightarrow $ $Delta $ có vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = left[ {{{vec n}_{left( P right)}},{{vec n}_{left( Q right)}}} right]$$ = left( {2;0; - 2} right)$$ = 2left( {1;0; - 1} right)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $Delta :$$left{ begin{gathered} x = 1 + t hfill y = - 2 hfill z = 3 - t hfill end{gathered} right.$
mà điểm $M(a;b;7)$ thuộc $Delta $ nên ta có $left{ begin{gathered} a = 1 + t hfill b = - 2 hfill 7 = 3 - t hfill end{gathered} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = - 3 hfill b = - 2 hfill t = - 4 hfill end{gathered} right.$
Vậy $a + b = - 3 + ( - 2) = - 5$.
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm $Mleft( {2;1; - 2} right)$và mặt phẳng $left( P right):3x + 2y - z + 1 = 0.$ Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $left( P right)$. Biết điểm $K(a;b; - 5)$ thuộc $Delta $. Tính $a + b$.
+ $Delta $ là đường thẳng đi qua $Mleft( {2;1; - 2} right)$
Lời giải
+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $overrightarrow {{u_d}} = {overrightarrow n _{_{left( p right)}}} = left( {3;2; - 1} right)$.
Suy ra phương trình chính tắc của $Delta $ là: $frac{{x - 2}}{3} = frac{{y - 1}}{2} = frac{{z + 2}}{{ - 1}}$
Điểm $K(a;b; - 4)$ thuộc $Delta $ nên ta có $frac{{a - 2}}{3} = frac{{b - 1}}{2} = frac{{ - 5 + 2}}{{ - 1}}$
$ Leftrightarrow frac{{a - 2}}{3} = frac{{b - 1}}{2} = 3$
$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{a - 2}}{3} = 3 hfill frac{{b - 1}}{2} = 3 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 11 hfill b = 7 hfill end{gathered} right.$
Vậy $a + b = 11 + 7 = 18$.
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $B(1;1;2)$, $C(1; - 1;0)$ và $D(0;0;1)$. Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với mặt phẳng $left( {BCD} right)$. Biết điểm $K(a;b;6)$ thuộc $Delta $. Tính $a + b$.
Lời giải
Ta có $overrightarrow {BC} = (0; - 2; - 2)$, $overrightarrow {BD} = ( - 1; - 1; - 1)$;
Mặt phẳng $left( {BCD} right)$ có một véctơ pháp tuyến là $overrightarrow n = left[ {overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} } right] = (0;2; - 2)$
+ Đường thẳng $Delta $ vuông góc với mặt phẳng $left( {ABC} right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = left( {0;2; - 2} right)$.
+ $Delta $ đi qua $B(1;1;2)$.
Suy ra $Delta $ có phương trình là$left{ begin{gathered} x = 1 hfill y = 1 + 2t hfill z = 2 - 2t hfill end{gathered} right.$.
Ta lại có điểm $K(a;b;6)$ thuộc $Delta $ nên ta có $left{ begin{gathered} a = 1 hfill b = 1 + 2t hfill 6 = 2 - 2t hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 1 hfill b = - 3 hfill t = - 2 hfill end{gathered} right.$
Vậy $a + b = 1 + ( - 3) = - 2$.
Câu 7. Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $Aleft( {1;0;2} right),Bleft( {1;2;1} right),Cleft( {3;2;0} right)$ và $Dleft( {1;1;3} right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $left( {BCD} right)$. Biết điểm $K( - 4;b;c)$ thuộc $d$. Tính $b + c$.
Lời giải
Ta có $overrightarrow {BC} = left( {2;0; - 1} right)$, $overrightarrow {BD} = left( {0; - 1;2} right)$
$ Rightarrow overrightarrow {{u_d}} = overrightarrow {{n_{BCD}}} = left[ {overrightarrow {BC} ;overrightarrow {BD} } right] = left( { - 1; - 4; - 2} right)$
Mà $d$ đi qua $Aleft( {1;0;2} right)$ nên $d$ có phương trình $left{ begin{gathered} x = 2 + t hfill y = 4 + 4t hfill z = 4 + 2t hfill end{gathered} right..$
Ta lại có điểm $K( - 4;b;c)$ thuộc $d$ nên $left{ begin{gathered} - 4 = 2 + t hfill b = 4 + 4t hfill c = 4 + 2t hfill end{gathered} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} t = - 6 hfill b = 4 + 4.( - 6) = - 20 hfill c = 4 + 2.( - 6) = - 8 hfill end{gathered} right.$
Vậy $b + c = - 20 + ( - 8) = - 28$.
Câu 8. Trong không gian $Oxyz,$ gọi $Delta $ là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $x + z - 5 = 0$ và $x - 2y - z + 3 = 0$. Biết điểm $K(a; - 1;c)$ thuộc $Delta $. Tính $a + c$.
Lời giải
$left( P right):,,x + z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow {{n_1}} = left( {1,;,0,;,1} right)$.
$left( Q right):,,x - 2y - z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow {{n_2}} = left( {1,;, - 2,;, - 1} right)$.
Ta có: Một vectơ chỉ phương của $Delta $ $overrightarrow {{u_d}} = left[ {overrightarrow {{n_1}} ,,,overrightarrow {{n_2}} } right] = left( {2,;2,;, - 2} right) = 2.(1;1; - 1)$.
Lấy $Mleft( {2,;,1,;,3} right)$thuộc mặt phẳng $left( P right)$ và $left( Q right)$, tức là $Delta $ đi qua $Mleft( {2,;,1,;,3} right)$
Suy ra $Delta $ có phương trình $Delta $ là: $frac{{x - 2}}{1} = frac{{y - 1}}{1} = frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.
Ta lại có điểm $K(a; - 1;c)$ thuộc $Delta $ nên $frac{{a - 2}}{1} = frac{{ - 1 - 1}}{1} = frac{{c - 3}}{{ - 1}}$
$ Leftrightarrow frac{{a - 2}}{1} = - 2 = frac{{c - 3}}{{ - 1}}$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{a - 2}}{1} = - 2 hfill frac{{c - 3}}{{ - 1}} = - 2 hfill end{gathered} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 0 hfill c = 5 hfill end{gathered} right.$
Vậy $a + c = 0 + 5 = 5$.
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $Aleft( { - 1;3;2} right),,,Bleft( {2;0;5} right),,,Cleft( {0; - 2;1} right)$. Biết điểm $K(a;b;3)$ thuộc đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$. Tính $a + b$.
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm $BC$.
Khi đó $Mleft( {1; - 1;3} right)$
Ta có vectơ chỉ phương của $AM$ là $overrightarrow {AM} = left( {2; - 4;1} right)$
Ta lại có $AM$ đi qua $Aleft( { - 1;3;2} right)$.
Suy ra $AM:,frac{{x + 1}}{2} = frac{{y - 3}}{{ - 4}} = frac{{z - 2}}{1}$
mà $K(a;b;3)$ thuộc đường trung tuyến $AM$
nên $frac{{a + 1}}{2} = frac{{b - 3}}{{ - 4}} = frac{{3 - 2}}{1}$$ Leftrightarrow frac{{a + 1}}{2} = frac{{b - 3}}{{ - 4}} = 1$
$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{a + 1}}{2} = 1 hfill frac{{b - 3}}{{ - 4}} = 1 hfill end{gathered} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 1 hfill b = - 1 hfill end{gathered} right.$
Vậy $a + b = 1 + ( - 1) = 0$.
Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {1;4; - 5} right)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 3 = 0$. Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ vuông góc với $OA$ và song song với $(P)$. Biết điểm $K(a;b;2025)$ thuộc $Delta $. Tính $a + b$.
Lời giải
+ $Delta $ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$.
+ $left{ begin{gathered} overrightarrow {OA} = left( {1;4; - 5} right) hfill overrightarrow {{n_P}} = (1;1; - 2) hfill end{gathered} right. Rightarrow $$overrightarrow {{u_Delta }} = left[ {overrightarrow {OA} ,overrightarrow {{n_P}} } right]$$ = ( - 3; - 3; - 3)$$ = - 3.(1;1;1)$
Suy ra $left{ begin{gathered} x = t hfill y = t hfill z = t hfill end{gathered} right.$.
Ta lại có điểm $K(a;b;2025)$ thuộc $Delta $ nên ta có $left{ begin{gathered} a = t hfill b = t hfill 2025 = t hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 2025 hfill b = 2025 hfill t = 2025 hfill end{gathered} right.$
Vậy $a + b = 2025 + 2025 = 4050$.
