Bài Tập Trả Lời Ngắn Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz

Bài tập trả lời ngắn phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = left( {1,;3,;2} right)$. Biết điểm $M(5;b;c)$ thuộc $d$. Tính $b + c$.

Lời giải

Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $Oleft( {0,;,0,;,0} right)$ và nhận vectơ $overrightarrow u = left( {1,;3,;2} right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $d:left{ begin{gathered} x = t hfill y = 3t hfill z = 2t hfill end{gathered} right.$.

Lại có $M(5;b;c)$ thuộc $d$ nên $left{ begin{gathered} 5 = t hfill b = 3t hfill c = 2t hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} t = 5 hfill b = 15 hfill c = 10 hfill end{gathered} right.$

Suy ra $M(5;15;10)$.

Vậy $b + c = 15 + 10 = 25$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $Aleft( {1,;,0,;,1} right)$, $Bleft( {1,;,1,;,0} right)$ và $Cleft( {3,;,4,;, - 1} right)$. Gọi $d$ là đường thẳng đi đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$. Biết điểm $M(a;b;2)$ thuộc $d$. Tính $a + b$.

Lời giải

Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$ nhận $overrightarrow {BC} = left( {2,;,3,;, - 1} right)$ làm một véc tơ chỉ phương.

Suy ra phương trình của đường thẳng $d$: $frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{3} = frac{{z - 1}}{{ - 1}}$.

Mà điểm $M(a;b;2)$ thuộc $d$ nên $frac{{a - 1}}{2} = frac{b}{3} = frac{{2 - 1}}{{ - 1}}$

$ Leftrightarrow frac{{a - 1}}{2} = frac{b}{3} = - 1$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{a - 1}}{2} = - 1 hfill frac{b}{3} = - 1 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = - 1 hfill b = - 3 hfill end{gathered} right.$

Vậy $a + b = - 4$.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $Aleft( {1; - 2; - 3} right)$; $Bleft( { - 1;4;1} right)$ và đường thẳng $d:frac{{x + 2}}{1} = frac{{y - 2}}{{ - 1}} = frac{{z + 3}}{2}$. Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn $AB$ và song song với $d$. Biết điểm $M(a; - 2;c)$ thuộc $Delta $. Tính $a + c$.

Lời giải

+ Trung điểm của $AB$ là $Ileft( {0;1; - 1} right)$

+ $d:frac{{x + 2}}{1} = frac{{y - 2}}{{ - 1}} = frac{{z + 3}}{2}$ có VTCP là $overrightarrow u left( {1; - 1;2} right)$

Do $Delta //d$ nên đường thẳng $Delta $ cần tìm cũng có VTCP $overrightarrow u left( {1; - 1;2} right)$.

Suy ra phương trình đường thẳng $Delta :,frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{{ - 1}} = frac{{x + 1}}{2}.$

mà điểm $M(a; - 2;c)$ thuộc $Delta $ nên ta có $frac{a}{1} = frac{{ - 2 - 1}}{{ - 1}} = frac{{c + 1}}{2}$

$ Leftrightarrow frac{a}{1} = 3 = frac{{c + 1}}{2}$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{a}{1} = 3 hfill frac{{c + 1}}{2} = 3 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 3 hfill c = 5 hfill end{gathered} right.$

Vậy $a + c = 3 + 5 = 8$.

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {1; - 2;3} right)$ và hai mặt phẳng $left( P right):x + y + z + 1 = 0$, $left( Q right):x - y + z - 2 = 0$. Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua $A$, song song với $left( P right)$ và $left( Q right)$. Biết điểm $M(a;b;7)$ thuộc $Delta $. Tính $a + b$.

Lời giải

Ta có:

+$Delta $ đi qua $Aleft( {1; - 2;3} right)$

+ $left{ begin{gathered} {{vec n}_{left( P right)}} = left( {1;1;1} right) hfill {{vec n}_{left( Q right)}} = left( {1; - 1;1} right) hfill end{gathered} right.$ $ Rightarrow $ $Delta $ có vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = left[ {{{vec n}_{left( P right)}},{{vec n}_{left( Q right)}}} right]$$ = left( {2;0; - 2} right)$$ = 2left( {1;0; - 1} right)$.

Suy ra phương trình đường thẳng $Delta :$$left{ begin{gathered} x = 1 + t hfill y = - 2 hfill z = 3 - t hfill end{gathered} right.$

mà điểm $M(a;b;7)$ thuộc $Delta $ nên ta có $left{ begin{gathered} a = 1 + t hfill b = - 2 hfill 7 = 3 - t hfill end{gathered} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = - 3 hfill b = - 2 hfill t = - 4 hfill end{gathered} right.$

Vậy $a + b = - 3 + ( - 2) = - 5$.

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm $Mleft( {2;1; - 2} right)$và mặt phẳng $left( P right):3x + 2y - z + 1 = 0.$ Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $left( P right)$. Biết điểm $K(a;b; - 5)$ thuộc $Delta $. Tính $a + b$.

+ $Delta $ là đường thẳng đi qua $Mleft( {2;1; - 2} right)$

Lời giải

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $overrightarrow {{u_d}} = {overrightarrow n _{_{left( p right)}}} = left( {3;2; - 1} right)$.

Suy ra phương trình chính tắc của $Delta $ là: $frac{{x - 2}}{3} = frac{{y - 1}}{2} = frac{{z + 2}}{{ - 1}}$

Điểm $K(a;b; - 4)$ thuộc $Delta $ nên ta có $frac{{a - 2}}{3} = frac{{b - 1}}{2} = frac{{ - 5 + 2}}{{ - 1}}$

$ Leftrightarrow frac{{a - 2}}{3} = frac{{b - 1}}{2} = 3$

$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{a - 2}}{3} = 3 hfill frac{{b - 1}}{2} = 3 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 11 hfill b = 7 hfill end{gathered} right.$

Vậy $a + b = 11 + 7 = 18$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $B(1;1;2)$, $C(1; - 1;0)$ và $D(0;0;1)$. Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với mặt phẳng $left( {BCD} right)$. Biết điểm $K(a;b;6)$ thuộc $Delta $. Tính $a + b$.

Lời giải

Ta có $overrightarrow {BC} = (0; - 2; - 2)$, $overrightarrow {BD} = ( - 1; - 1; - 1)$;

Mặt phẳng $left( {BCD} right)$ có một véctơ pháp tuyến là $overrightarrow n = left[ {overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} } right] = (0;2; - 2)$

+ Đường thẳng $Delta $ vuông góc với mặt phẳng $left( {ABC} right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = left( {0;2; - 2} right)$.

+ $Delta $ đi qua $B(1;1;2)$.

Suy ra $Delta $ có phương trình là$left{ begin{gathered} x = 1 hfill y = 1 + 2t hfill z = 2 - 2t hfill end{gathered} right.$.

Ta lại có điểm $K(a;b;6)$ thuộc $Delta $ nên ta có $left{ begin{gathered} a = 1 hfill b = 1 + 2t hfill 6 = 2 - 2t hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 1 hfill b = - 3 hfill t = - 2 hfill end{gathered} right.$

Vậy $a + b = 1 + ( - 3) = - 2$.

Câu 7. Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $Aleft( {1;0;2} right),Bleft( {1;2;1} right),Cleft( {3;2;0} right)$ và $Dleft( {1;1;3} right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $left( {BCD} right)$. Biết điểm $K( - 4;b;c)$ thuộc $d$. Tính $b + c$.

Lời giải

Ta có $overrightarrow {BC} = left( {2;0; - 1} right)$, $overrightarrow {BD} = left( {0; - 1;2} right)$

$ Rightarrow overrightarrow {{u_d}} = overrightarrow {{n_{BCD}}} = left[ {overrightarrow {BC} ;overrightarrow {BD} } right] = left( { - 1; - 4; - 2} right)$

Mà $d$ đi qua $Aleft( {1;0;2} right)$ nên $d$ có phương trình $left{ begin{gathered} x = 2 + t hfill y = 4 + 4t hfill z = 4 + 2t hfill end{gathered} right..$

Ta lại có điểm $K( - 4;b;c)$ thuộc $d$ nên $left{ begin{gathered} - 4 = 2 + t hfill b = 4 + 4t hfill c = 4 + 2t hfill end{gathered} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} t = - 6 hfill b = 4 + 4.( - 6) = - 20 hfill c = 4 + 2.( - 6) = - 8 hfill end{gathered} right.$

Vậy $b + c = - 20 + ( - 8) = - 28$.

Câu 8. Trong không gian $Oxyz,$ gọi $Delta $ là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $x + z - 5 = 0$ và $x - 2y - z + 3 = 0$. Biết điểm $K(a; - 1;c)$ thuộc $Delta $. Tính $a + c$.

Lời giải

$left( P right):,,x + z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow {{n_1}} = left( {1,;,0,;,1} right)$.

$left( Q right):,,x - 2y - z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $overrightarrow {{n_2}} = left( {1,;, - 2,;, - 1} right)$.

Ta có: Một vectơ chỉ phương của $Delta $ $overrightarrow {{u_d}} = left[ {overrightarrow {{n_1}} ,,,overrightarrow {{n_2}} } right] = left( {2,;2,;, - 2} right) = 2.(1;1; - 1)$.

Lấy $Mleft( {2,;,1,;,3} right)$thuộc mặt phẳng $left( P right)$ và $left( Q right)$, tức là $Delta $ đi qua $Mleft( {2,;,1,;,3} right)$

Suy ra $Delta $ có phương trình $Delta $ là: $frac{{x - 2}}{1} = frac{{y - 1}}{1} = frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.

Ta lại có điểm $K(a; - 1;c)$ thuộc $Delta $ nên $frac{{a - 2}}{1} = frac{{ - 1 - 1}}{1} = frac{{c - 3}}{{ - 1}}$

$ Leftrightarrow frac{{a - 2}}{1} = - 2 = frac{{c - 3}}{{ - 1}}$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{a - 2}}{1} = - 2 hfill frac{{c - 3}}{{ - 1}} = - 2 hfill end{gathered} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 0 hfill c = 5 hfill end{gathered} right.$

Vậy $a + c = 0 + 5 = 5$.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $Aleft( { - 1;3;2} right),,,Bleft( {2;0;5} right),,,Cleft( {0; - 2;1} right)$. Biết điểm $K(a;b;3)$ thuộc đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$. Tính $a + b$.

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

Khi đó $Mleft( {1; - 1;3} right)$

Ta có vectơ chỉ phương của $AM$ là $overrightarrow {AM} = left( {2; - 4;1} right)$

Ta lại có $AM$ đi qua $Aleft( { - 1;3;2} right)$.

Suy ra $AM:,frac{{x + 1}}{2} = frac{{y - 3}}{{ - 4}} = frac{{z - 2}}{1}$

mà $K(a;b;3)$ thuộc đường trung tuyến $AM$

nên $frac{{a + 1}}{2} = frac{{b - 3}}{{ - 4}} = frac{{3 - 2}}{1}$$ Leftrightarrow frac{{a + 1}}{2} = frac{{b - 3}}{{ - 4}} = 1$

$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} frac{{a + 1}}{2} = 1 hfill frac{{b - 3}}{{ - 4}} = 1 hfill end{gathered} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 1 hfill b = - 1 hfill end{gathered} right.$

Vậy $a + b = 1 + ( - 1) = 0$.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( {1;4; - 5} right)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 3 = 0$. Gọi $Delta $ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ vuông góc với $OA$ và song song với $(P)$. Biết điểm $K(a;b;2025)$ thuộc $Delta $. Tính $a + b$.

Lời giải

+ $Delta $ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$.

+ $left{ begin{gathered} overrightarrow {OA} = left( {1;4; - 5} right) hfill overrightarrow {{n_P}} = (1;1; - 2) hfill end{gathered} right. Rightarrow $$overrightarrow {{u_Delta }} = left[ {overrightarrow {OA} ,overrightarrow {{n_P}} } right]$$ = ( - 3; - 3; - 3)$$ = - 3.(1;1;1)$

Suy ra $left{ begin{gathered} x = t hfill y = t hfill z = t hfill end{gathered} right.$.

Ta lại có điểm $K(a;b;2025)$ thuộc $Delta $ nên ta có $left{ begin{gathered} a = t hfill b = t hfill 2025 = t hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = 2025 hfill b = 2025 hfill t = 2025 hfill end{gathered} right.$

Vậy $a + b = 2025 + 2025 = 4050$.