Lý thuyết đại cương về phương trình

I.Khái niệm phương trình

1. Phương trình một ẩn

+ Phương trình ẩn (x) là mệnh đề chứa biến có dạng:

(f(x) = g(x)) (1)

trong đó (f(x), g(x)) là các biểu thức của (x). Ta gọi (f(x)) là vế trái, (g(x)) là vế phải của phương trình (1).

+ Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của ẩn (x) để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

+ Nếu có số (x_0) thỏa mãn ĐKXĐ và (f(x_0)= g(x_0)) là mệnh đề đúng thì ta nói (x_0) là nghiệm đúng phương trình (1) hay (x_0) là một nghiệm của phương trình (1).

Nếu phương trình không có nghiệm, ta nói phương trình vô nghiệm hoặc tập nghiêm là rỗng.

+ Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

2. Phương trình nhiều ẩn

Chẳng hạn:

(3x + 2y = {x^2} - 2xy + 8) (Phương trình hai ẩn (x) và (y))

(4{x^2} - xy + 2z = 3{z^2} + 2xz + {y^2}) (Phương trình ba ẩn (x, y) và (z))

3. Phương trình chứa tham số

Chẳng hạn: ((m + 1)x - 3 = 0) (Phương trình ẩn (x) chứa tham số (m))

II. Phương trình tương đương và Phương trình hệ quả

1. Phương trình trương đương

Hai phương trình

({f_1}left( x right) = {g_1}left( x right)) (1)

({f_2}left( x right) = {g_2}left( x right)) (2)

được gọi là tương đương, kí hiệu ({f_1}left( x right) = {g_1}left( x right)⇔ {f_2}left( x right) = {g_2}left( x right)) nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau.

Định lí:

a) Nếu (h(x)) là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình (f(x) = g(x)) thì

(f(x) + h(x) = g(x) + h(x) )(⇔ f(x) = g(x)).

b) Nếu (h(x)) thỏa mãn ĐKXĐ và khác (0) với mọi (x) thỏa mãn ĐKXĐ thì

(f(x).h(x) = g(x).h(x) ⇔ f(x) = g(x))

(dfrac{f(x)}{h(x)}=dfrac{g(x)}{h(x)} ⇔ f(x) = g(x)).

2. Phương trình hệ quả

Phương trình ({f_2}left( x right) = {g_2}left( x right)) là phương trình hệ quả của phương trình ({f_1}left( x right) = {g_1}left( x right)), kí hiệu

({f_1}left( x right) = {g_1}left( x right)) (Rightarrow )({f_2}left( x right) = {g_2}left( x right))nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.

Ví dụ: (2x = 3 - x Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0).

Loigiaihay.com